Question d'origine :
Bonjour à vous tous
Je voudrais vous poser la question suivante :
Le mathématicien anglais Andrew Wiles a-t-il vraiment pu prouver le dernier Théorème de Fermat (en inscrivant ainsi son nom dans l'histoire de la Mathématique) ou bien l'euphorie initielle, contestée par un autre mathématicien, a été confirmée par Wiles après les ajustements nécessaires?
Je m'excuse si éventuellement mon doute vous donnera du travail....
Mille mercis d'avance.
Etoile Blanche
Réponse du Guichet
bml_sci
- Département : Sciences et Techniques
Le 14/03/2006 à 12h25
Le Dictionnaire des mathématiques d'Alain Bouvier, François Le Lionnais et Michel George définit la
Alors qu'il existe une infinité de triplets (x, y, z) d'netiers non nuls tels que x2 +y2 = z2, Fermat a affirmé, vers les années 1640, que pour tout entier n > 2, il n’existe pas d’entiers x, y, z non nuls tels que xn + yn = zn. Cette conjecture encore appelée grand théorème ou dernier théorème de Fermat, est équivalente à affirmer que pour tout n > 2, la courbe d’équation xn + yn = 1 …. n’a aucun point à coordonnées rationnelles hormis A (1, 0) et B (0,1)
Pour établir cette conjecture pour tout entier n > 2 il suffit de la prouver n= 4 et tout entier premier p>2.Bien que Fermat ait signalé « en avoir trouvé une merveilleuse démonstration », il n’en proposa la preuve que pour n =3 et n= 4.
Malgré la mise en œuvre d’outils de plus en plus élaborés (théorie des nombres algébriques au XIX e siècle, géométrie algébrique au milieu du XXe siècle), cette conjecture résista pendant plus de trois siècles et demi aux efforts des mathématiciens…..
Le développement de la géométrie algébrique dont l’un des objets est la recherche des liens entre l’arithmétique et les courbes algébriques. C’est cette voie empruntée notamment par G. frey, A Grothendieck, Y. Hellegouarch, K. Ribet, J.P. Serre, Y. Taniyama, A. Weil qui permit à Wiles, dans le cadre des courbes elliptiques, d’établir un théorème dont la conjecture de Fermat découle…
Voici également un article complémentaire Fermat et son théorème publié par le Laboratoire de mathématique d'Orsay et qui relate l'histoire de la recherche et précise les conditions de la démonstration :
Mais la preuve de la conjecture STW semblait inaccessible : c'est elle pourtant qu'a obtenue
La biographie d'Andrew Wiles publiée sur le site de l'Académie de Bordeaux apporte des renseignements complémentaires :
On sait que Pierre de Fermat écrivit, sans doute vers 1630, dans la marge de l'Arithmétique de Diophante que l'équation x^n + y^n = z^n n'avait pas de quadruplet d'entiers solution vérifiant x,y,z>0, et n>2, et qu'il avait découvert une preuve vraiment remarquable de ce fait, mais que la marge était trop petite pour la contenir. Fermat meurt en 1665 et c'est son fils Samuel qui publie ses papiers, y compris la fameuse note marginale.
Le 4 Août 1753, Euler écrit à Goldbach qu'il a résolu le cas particulier n = 3. Mais sa démonstration contient une grave erreur, due au fait que les propriétés des anneaux d'entiers dans C ne sont pas les mêmes que dans Z. On peut cependant la corriger pour la rendre valable.
Sophie Germain fait faire un grand progrès au problème. Dirichlet et Legendre démontrent en 1825 le cas n = 5, Dirichlet le cas n = 14, Lamé en 1839, avec beaucoup de difficultés, le cas n = 7. Lamé annonce en 1847 avoir démontré le théorème de Fermat. Il factorise l'équation de Fermat en produit de facteurs dans le plan complexe, mais il a besoin pour conclure de l'unicité de la décomposition en facteurs d'un certain type.
Kummer, le 24 Mai 1847, envoie une lettre à l'Académie des Sciences où il établit que l'unicité est fausse, mais où il donne une technique pour s'en sortir quand même, grâce au concept d'idéal. Seuls échappent à la méthode de Kummer les entiers qui divisent les numérateurs de certains nombres de Bernoulli. 37 est un des ces nombres désagréables, d'autres sont 59 et 67, et il y en a une infinité. 1 000 fausses preuves du théorème sont publiées entre 1908 et 1912. Le problème n'avance pas beaucoup, si ce n'est d'un point-de-vue purement quantitatif. En 1983, on a vérifié l'impossibilité de l'égalité pour les valeurs de n inférieures à 4 000 000.
Le bon angle d'attaque vient de la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil sur des courbes elliptiques, de la forme : y^2 = x^3 + ax + b. En 1986, la connexion est faite entre cette conjecture et le Théorème de Fermat, et ce dernier sort de la pure Théorie des Nombres pour être relié aux propriétés fondamentales de l'espace. Andrew Wiles s'y intéresse alors, et après un effort solitaire de 7 ans, suivis de quatorze mois de recherches angoissées pour pallier une erreur de raisonnement, arrive à démontrer le théorème, qui avait résisté 360 ans.
Vous pouvez également lire l'ouvrage de Simon Singh : Le dernier théorème de Fermat : l'histoire de l'énigme qui a défiée les plus grands esprits du monde pendant 358 ans
Andrew Wiles
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